Rangkuman 8 Materi Matematika Kelas 10 Kurikulum Merdeka dan Contoh Soalnya!

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang esensial dan sering kali menantang bagi banyak siswa. Oleh karena itu, kami telah menyusun rangkuman lengkap yang mencakup delapan bab utama: Eksponen dan Logaritma, Barisan dan Deret, Vektor dan Operasinya, Trigonometri, Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear, Fungsi Kuadrat, Statistika, dan Peluang. Dalam artikel ini, setiap bab dijelaskan secara mendetail dengan contoh soal dan pembahasannya, sehingga memudahkan siswa untuk memahami dan menguasai materi dengan lebih baik. Mari kita mulai perjalanan belajar kita dan raih kesuksesan dalam menguasai matematika! Berikut adalah rangkuman materi Matematika Kelas 10 Kurikulum Merdeka dengan contoh soal dan pembahasan yang lebih detail:

1. Bab Eksponen dan Logaritma

A. Eksponen

Definisi Eksponen:
Eksponen adalah cara untuk menunjukkan berapa kali suatu bilangan (basis) digunakan dalam perkalian. Contoh: $a^n$, di mana $a$ adalah basis dan $n$ adalah eksponen.

​Sifat-sifat Eksponen:

1. $a^m \times a^n = a^{m+n}$
   
2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
   
3. $(a^m)^n = a^{mn}$
   
4. $a^0 = 1$ (jika $a \neq 0$)
5. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Fungsi Eksponen:
Fungsi eksponen adalah fungsi yang bentuk umumnya $f(x) = a^x$, dengan $a$ adalah bilangan positif selain 1.

Pertumbuhan Eksponen:
Pertumbuhan eksponen menggambarkan situasi di mana suatu jumlah meningkat dengan laju yang sebanding dengan ukurannya. Contoh: $P(t) = P_0 \cdot e^{kt}$

Peluruhan Eksponen:
Peluruhan eksponen menggambarkan situasi di mana suatu jumlah berkurang dengan laju yang sebanding dengan ukurannya. Contoh: $P(t) = P_0 \cdot e^{-kt}$

Bentuk Akar:
Bentuk akar adalah eksponen dalam bentuk fraksional. Contoh: $\sqrt{a} = a^{1/2}$

Hubungan Bilangan Pangkat dan Akar:
Contoh: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

Merasionalkan Bentuk Akar:
Merasionalkan bentuk akar berarti menghilangkan akar dari penyebut suatu pecahan.

Contoh Soal:

1. Selesaikan $8^{2/3}$.

Pembahasan:

$$8^{2\mathrm{/}3}={\left(2^3\right)}^{2\mathrm{/}3}=2^{3\cdot \frac{2}{3}}=2^2=4$$

B. Logaritma

Definisi Logaritma:
Logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Jika $a^b = c$, maka $\log_a c = b$.

Sifat-sifat Logaritma:

1. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
   
2. $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
   
3. ${\log }_a(x^y)=y{\mathrm{<br>}}_{}\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;"=""><br></span>}$
4. ${log\; a\; =\; 1}_{}$
5. $\log_a 1 = 0$
   

Contoh Soal:

1. Tentukan nilai dari $\log_2 32$
   

Pembahasan:

$$\log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5 \log_2 2 = 5 \times 1 = 5$$

2. Bab Barisan dan Deret

A. Barisan

Barisan Aritmetika:
Barisan dengan beda tetap antara dua suku berurutan. Rumus suku ke-n: $a_n = a + (n-1)d$

Barisan Geometri:
Barisan dengan rasio tetap antara dua suku berurutan. Rumus suku ke-n: $a_n = a \cdot r^{n-1}$

Contoh Soal:

1. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika dengan suku pertama 3 dan beda 5.

Pembahasan:

$$a_{10}=3+(10-1)\times 5=3+45=48$$

B. Deret

Deret Aritmetika:
Jumlah suku-suku dalam barisan aritmetika. Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = \frac{n}{2} (a + a_n)$

Deret Geometri:
Jumlah suku-suku dalam barisan geometri. Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$

Deret Geometri Tak Hingga:
Jika $|r| < 1$, maka rumus jumlah deret geometri tak hingga: $S = \frac{a}{1 - r}$

Contoh Soal:

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3.

Pembahasan:

$$S_{10} = 2 \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 2 \frac{59049 - 1}{2} = 2 \times 29524 = 59048$$

3. Bab Vektor dan Operasinya

A. Terminologi, Notasi dan Jenis Vektor

Panjang dan Arah Vektor:
Panjang (magnitude) vektor adalah jarak dari titik awal ke titik akhir. Notasi: $\| \mathbf{v} \|$. Arah vektor ditentukan oleh orientasinya di ruang.

Vektor Negatif atau Vektor Lawan:
Vektor negatif dari $\mathbf{v}$ adalah $-\mathbf{v}$, yang memiliki panjang yang sama tetapi arah berlawanan.

Vektor Ekuivalen:
Vektor-vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama.

Contoh Soal:

1. Hitung panjang vektor $\mathbf{v} = (3, 4)$.

Pembahasan:

$$\| \mathbf{v} \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

B. Vektor dan Sistem Koordinat

Vektor Berdimensi Dua pada Sistem Koordinat:
Vektor dalam dua dimensi diwakili oleh pasangan terurut $(x, y)$.

Komponen-Komponen Vektor:
Komponen vektor $\mathbf{v} = (x, y)$ adalah $x$ dan $y$.

Vektor-Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat Kartesius:
Vektor $\mathbf{v} = (x_1, y_1)$dan $\mathbf{w} = (x_2, y_2)$  ekuivalen jika $x_1=x_{\mathrm{2 <span\; style="font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;=""\; font-size:=""\; 14px;"=""> </span>}}$$y_1 = y_2$

Vektor Berdimensi Tiga pada Sistem Koordinat Kartesius:
Vektor dalam tiga dimensi diwakili oleh tripel terurut $(x, y, z)$.

Vektor Kolom dan Vektor Baris:
Vektor kolom adalah matriks dengan satu kolom, dan vektor baris adalah matriks dengan satu baris.

Vektor Satuan dari Suatu Vektor:
Vektor satuan $\mathbf{u}$ dari $\mathbf{v}$ adalah $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\| \mathbf{v} \|}$

Vektor Posisi:
Vektor posisi dari titik $A$ ke titik $B$ adalah $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

Vektor Berkebalikan:
Vektor berkebalikan dari $\mathbf{v}$ adalah $-\mathbf{v}$.

Contoh Soal:

1. Temukan vektor satuan dari $\mathbf{v}=(6,\mathrm{8)<span\; style="font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;"=""><br></span>}$

Pembahasan:

$$\| \mathbf{v} \| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$
$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\| \mathbf{v} \|} = \frac{(6, 8)}{10} = (0,6, 0,8)$$

C. Operasi Vektor

Penjumlahan Vektor:
Jika $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ dan $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$, maka $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2).<span\; style="font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;"=""><br></span>$

Penjumlahan Dua Vektor dengan Metode Segitiga:
Gambarkan vektor kedua dari ujung vektor pertama dan sambungkan titik awal dengan titik akhir.

Penjumlahan Dua Vektor dengan Metode Jajar Genjang:
Gambarkan kedua vektor dari titik yang sama dan bentuk jajar genjang. Diagonalnya adalah hasil penjumlahan.

Penjumlahan dengan Metode Poligon:
Tambahkan semua vektor satu per satu.

Penjumlahan Vektor secara Komponen:
Jumlahkan komponen-komponen yang sesuai.

Pengurangan Vektor:
$\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + (-\mathbf{v})$

Perkalian Skalar dengan Vektor:
Jika $k$ adalah skalar dan $\mathbf{v}=(v_1,v_2)\; maka<span\; style="font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;"=""> </span>$$k\mathbf{v}=(k{v}_1,k{v}_2)$

Contoh Soal:

1. Hitung hasil dari $3(2, -4) - (1, 5)$
   

Pembahasan:

$$3(2, -4) = (6, -12)$$
$$(6, -12) - (1, 5) = (6 - 1, -12 - 5) = (5, -17)$$

4. Bab Trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri

Penamaan Sisi Segitiga Siku-siku:

• Sisi di depan sudut $\theta$ adalah sisi depan.
• Sisi yang berdekatan dengan sudut $\theta$ adalah sisi samping.
• Sisi terpanjang adalah hipotenusa.

Satu Jenis Perbandingan Trigonometri: $\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$

Kegunaan Perbandingan Trigonometri $\mathrm{<b>tan</b>}<b></b>\mathrm{<b>\theta : <span\; style="font-weight:\; 500;\; font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;"=""> Digunakan\; untuk\; menghitung\; panjang\; sisi\; atau\; besar\; sudut\; dalam\; segitiga\; siku-siku.</span></b>}$

Contoh Soal:

1. Dalam segitiga siku-siku, jika $\tan \theta = \frac{3}{4}$, dan sisi samping adalah 4, hitung sisi depan dan hipotenusa.

Pembahasan:

$$\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \implies \frac{3}{4} = \frac{\text{sisi depan}}{4} \implies \text{sisi depan} = 3$$
$$\text{Hipotenusa} = \sqrt{\text{sisi depan}^2 + \text{sisi samping}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

B. Pemanfaatan Perbandingan Trigonometri

Perbandingan Trigonometri di Piramida:
Menggunakan fungsi trigonometri untuk menghitung tinggi atau panjang sisi miring.

Tiga Serangkai Perbandingan Trigonometri:

$$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}}$$
$$\cos \theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}}$$
$$\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}$$

Sudut Istimewa Perbandingan Trigonometri:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 45^\circ = 1$
  
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

Contoh Soal:

1. Hitung $\sin 45^\circ \times \cos 45^\circ$
   

Pembahasan:

$$\sin 45^\circ \times \cos 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

5. Bab Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

A. Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear dengan variabel yang sama. Contoh:

$$\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ x-y=1\end{array}$$

Contoh Soal:

1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut:
   $$\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ x-y=\mathrm{2<span\; style="font-family:\; Nunito,\; "\; segoe=""\; ui",=""\; arial;=""\; text-align:=""\; left;"=""></span>}\end{array}$$

Pembahasan:
Menggunakan metode substitusi:

$$x - y = 2 \implies x = y + 2$$

Substitusi $x$ ke persamaan pertama:

$$2(y + 2) + 3y = 13 \implies 2y + 4 + 3y = 13 \implies 5y + 4 = 13 \implies 5y = 9 \implies y = \frac{9}{5} = 1.8$$
$$x = y + 2 = 1.8 + 2 = 3.8$$

Jadi, $x = 3.8$ dan $y = 1.8$.

B. Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan pertidaksamaan linear dengan variabel yang sama. Contoh:

$$\{\begin{array}{l}2x+y<7\\ x-y\ge 1\end{array}$$

Contoh Soal:

1. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut:
   $$\{\begin{array}{l}x+y\le 5\\ 2x-y\ge 3\end{array}$$

$$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$$​Pembahasan: Grafikkan kedua pertidaksamaan pada koordinat kartesius dan tentukan daerah yang memenuhi kedua kondisi.

6. Bab Fungsi Kuadrat

A. Karakteristik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk $f(x) = ax^2 + bx + c$, dengan $a \neq 0$. Grafiknya berupa parabola.

Contoh Soal:

1. Tentukan titik puncak dari fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$
   

Pembahasan:
Titik puncak ($x, y$) dari fungsi kuadrat dapat ditemukan menggunakan rumus $x = -\frac{b}{2a}$:

$$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$
$$y = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$$

Jadi, titik puncak adalah $(1, -1)$.

B. Mengkonstruksi Fungsi Kuadrat

Menggunakan titik-titik tertentu atau informasi tertentu untuk menulis persamaan fungsi kuadrat.

C. Menyelesaikan Masalah dengan Fungsi Kuadrat

Menggunakan fungsi kuadrat untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah nyata, seperti menentukan jarak maksimum atau waktu maksimum.

Contoh Soal:

1. Sebuah bola dilempar ke atas dengan persamaan $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$. Tentukan waktu ketika bola mencapai ketinggian maksimum.

Pembahasan:
Gunakan rumus $t = -\frac{b}{2a}$:

$$t = -\frac{20}{2(-5)} = \frac{20}{10} = 2 \text{ detik}$$

7. Bab Statistika

A. Histogram

Histogram adalah diagram batang yang menunjukkan frekuensi data dalam interval tertentu.

B. Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah frekuensi suatu kejadian dibagi dengan total frekuensi, sering dinyatakan dalam persen.

C. Ukuran Pemusatan

Modus dan Median:

• Modus: Nilai yang paling sering muncul.
• Median: Nilai tengah dari data yang telah diurutkan.

Mean (Rerata atau Rata-rata):
Rata-rata dari semua data. Rumus: $\text{Mean} = \frac{\sum \text{data}}{\text{jumlah data}}$

Penggunaan Ukuran Pemusatan:
Menentukan titik tengah atau nilai yang paling sering muncul dalam suatu set data.

Mean/Rata-rata Data Kelompok:
Rumus: $\text{Mean} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$, di mana $f_i$ adalah frekuensi dan $x_i$ adalah nilai tengah kelas.

Median dan Kelas Modus Data Kelompok:

• Median: $L + \left(\frac{\frac{n}{2} - F}{f}\right) \times c$
• Modus: $L + \left(\frac{d_1}{d_1 + d_2}\right) \times c$
  

Contoh Soal:

1. Tentukan median dari data berikut: 5, 2, 9, 7, 6.

Pembahasan:
Urutkan data: 2, 5, 6, 7, 9.

Median adalah nilai tengah: 6.

D. Ukuran Penempatan (Measure of Location)

Kuartil Data Tunggal:
Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama besar.

Kuartil Data Kelompok:
Menggunakan rumus kuartil untuk data berkelompok.

Persentil Data Kelompok:
Persentil membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar.

E. Ukuran Penyebaran

Jangkauan Inter Kuartil:
Selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama: $Q_3 - Q_1$.

Varian dan Simpangan Baku Data Tunggal:
Varian: $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ Simpangan Baku: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok:
Menggunakan rumus varian dan simpangan baku untuk data berkelompok.

Contoh Soal:

1. Tentukan simpangan baku dari data berikut: 4, 8, 6, 5, 3.

Pembahasan:

$$\text{Mean} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$$
$$\text{Varian} = \frac{(4 - 5.2)^2 + (8 - 5.2)^2 + (6 - 5.2)^2 + (5 - 5.2)^2 + (3 - 5.2)^2}{5} = \frac{1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84}{5} = \frac{14.8}{5} = 2.96$$
$$\text{Simpangan Baku} = \sqrt{2.96} \approx 1.72$$

8. Bab Peluang

A. Distribusi Peluang

Distribusi peluang menggambarkan kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

B. Aturan Penjumlahan

Dua Kejadian A dan B Saling Lepas:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Dua Kejadian A dan B Tidak Saling Lepas:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Contoh Soal:

1. Dalam sebuah dadu, tentukan peluang mendapatkan angka 2 atau 4.

Pembahasan:

$$P(2) = \frac{1}{6}, P(4) = \frac{1}{6}$$
$$P(2 \cup 4) = P(2) + P(4) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Rangkuman ini mencakup konsep dasar dan beberapa contoh soal serta pembahasan yang berkaitan dengan materi Matematika Kelas 10 Kurikulum Merdeka. Setiap bab memiliki penekanan pada pemahaman konsep dan penerapan praktis dalam bentuk soal-soal untuk memfasilitasi pemahaman yang lebih mendalam.

Ingin Anak Jago Matematika dan Berprestasi? Hubungi Kami Sekarang juga!! 

WhatsApp: 0852-8145-5797

Website: https://edupavilion.com/

Hanya di Edu Pavilion!

Mudah, Terjangkau, Berprestasi.