Rangkuman Rumus Matematika Kelas 11 Semester 1 & 2 Lengkap! Disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Menjelajahi dunia matematika di kelas 11 Kurikulum Merdeka tidak hanya mempersiapkan siswa untuk ujian, tetapi juga membuka wawasan tentang konsep-konsep dasar yang penting dalam kehidupan sehari-hari dan berbagai disiplin ilmu. Dalam artikel ini, kami akan merangkum materi dan rumus yang mencakup fungsi dan fungsi invers, lingkaran, statistika, bilangan kompleks, polinomial, matriks, serta transformasi geometri. Setiap bab dilengkapi dengan penjelasan mendalam, contoh soal, dan pembahasan untuk membantu siswa memahami dan menguasai materi dengan lebih baik.

Semester 1

1. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Fungsi, Domain, Kodomain, dan Range

• Definisi Fungsi: Fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap elemen dari himpunan domain dengan tepat satu elemen dari himpunan kodomain.
• Domain: Himpunan semua input yang mungkin untuk fungsi.
• Kodomain: Himpunan semua output yang mungkin dari fungsi.
• Range: Himpunan semua output yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi.

Komposisi Fungsi

• Komposisi: Jika f dan g adalah dua fungsi, maka komposisi f ∘ g adalah fungsi yang didefinisikan sebagai (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x². Temukan (f ∘ g)(x).
  • Jawaban: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 3
    
    

Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi

• Penjumlahan: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Pengurangan: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
  
  

Perkalian dan Pembagian Fungsi

• Perkalian: (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
• Pembagian: (f / g)(x) = f(x) / g(x) dengan syarat g(x) ≠ 0
  
  

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan f(x) = x + 2 dan g(x) = 3x - 1. Temukan (f + g)(x) dan (f ⋅ g)(x).
  • Jawaban:
    • (f + g)(x) = (x + 2) + (3x - 1) = 4x + 1
    • (f ⋅ g)(x) = (x + 2) ⋅ (3x - 1) = 3x² + 5x - 2

Fungsi Invers

• Definisi: Fungsi f^-1 adalah fungsi yang mengubah output f kembali menjadi input aslinya.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Temukan invers dari f(x) = 2x + 3.

  • Jawaban:
    • y = 2x + 3
    • x = 2y + 3
    • x - 3 = 2y
    • y = (x - 3) / 2
    • Jadi, f^-1(x) = (x - 3) / 2

• Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif:

  • Injektif (One-to-One): Setiap elemen di kodomain adalah gambar dari paling banyak satu elemen di domain.
  • Surjektif (Onto): Setiap elemen di kodomain adalah gambar dari setidaknya satu elemen di domain.
  • Bijektif: Fungsi yang injektif dan surjektif.
    
    

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Tentukan apakah f(x) = 2x + 3 adalah fungsi bijektif.
  • Jawaban:
    • Fungsi ini adalah injektif karena setiap nilai x menghasilkan nilai y yang unik.
    • Fungsi ini juga surjektif karena setiap nilai y dalam kodomain memiliki pasangan x di domain.
    • Jadi, fungsi ini adalah bijektif.
      
      

2. Lingkaran

Lingkaran dan Busur Lingkaran

• Definisi Lingkaran: Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak tetap (jari-jari) dari sebuah titik tetap (pusat).

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Tentukan panjang busur dari lingkaran dengan jari-jari 5 cm dan sudut pusat 60°.
  • Jawaban:
    • Panjang busur = (sudut pusat / 360°) × 2πr
    • = (60° / 360°) × 2π × 5
    • = (1/6) × 2π × 5
    • = (1/3)π × 5
    • = 5π/3 cm

Lingkaran dan Garis Singgung

• Definisi Garis Singgung: Garis yang hanya menyentuh lingkaran di satu titik.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan lingkaran dengan persamaan x² + y² = 25 dan titik (3,4). Tentukan apakah titik tersebut berada pada lingkaran, di dalam lingkaran, atau di luar lingkaran.
  • Jawaban:
    • Cek apakah (3,4) memenuhi persamaan lingkaran: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
    • Karena 25 = 25, titik tersebut berada pada lingkaran.
      
      

Lingkaran dan Tali Busur

• Definisi Tali Busur: Segmen garis yang kedua ujungnya terletak pada lingkaran.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Tentukan panjang tali busur yang jaraknya 3 cm dari pusat lingkaran dengan jari-jari 5 cm.
  • Jawaban:
    • Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang terbentuk:
    • x² + 3² = 5²
    • x² + 9 = 25
    • x² = 16
    • x = 4 cm (setengah panjang tali busur)
    • Jadi, panjang tali busur = 2x = 2 × 4 = 8 cm
      
      

3. Statistika

Diagram Pencar atau Diagram Scatter

• Definisi: Diagram yang menunjukkan hubungan antara dua variabel.

Regresi Linear

• Definisi: Metode untuk menemukan garis terbaik yang menggambarkan hubungan antara dua variabel.
• Metode Kuadrat Terkecil: Metode untuk meminimalkan jumlah kuadrat selisih antara nilai observasi dan nilai prediksi.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan data (1, 2), (2, 3), (3, 5), temukan garis regresi linear.
  • Jawaban: Menggunakan metode kuadrat terkecil, kita dapat menghitung y = mx + b. Misal m = 1 dan b = 1, garis regresi adalah y = x + 1.

Analisis Korelasi

• Definisi: Mengukur kekuatan dan arah hubungan antara dua variabel.
• Korelasi Product Moment: Koefisien korelasi Pearson yang mengukur hubungan linear antara dua variabel.
• Koefisien Determinasi: Ukuran proporsi variabilitas dalam satu variabel yang dapat dijelaskan oleh variabilitas dalam variabel lain.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan data (1, 2), (2, 3), (3, 5), hitung koefisien korelasi Pearson.
  • Jawaban: Koefisien korelasi Pearson dapat dihitung menggunakan rumus:
    $$r = \frac{n(\Sigma xy) - (\Sigma x)(\Sigma y)}{\sqrt{[n\Sigma x^2 - (\Sigma x)^2][n\Sigma y^2 - (\Sigma y)^2]}}$$
    Hitung manual untuk nilai r.
    
    

Semester 2

1. Bilangan Kompleks

Operasi pada Bilangan Kompleks

• Penjumlahan dan Pengurangan:
  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Perkalian:
  • (a + bi) ⋅ (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Pembagian:
  • (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c - di) / (c² + d²)

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Hitung (3 + 4i) + (1 - 2i) dan (3 + 4i) ⋅ (1 - 2i).
  • Jawaban:
    • (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i
    • (3 + 4i) ⋅ (1 - 2i) = (3⋅1 - 4⋅2) + (3⋅(-2) + 4⋅1)i = (3 - 8) + (-6 + 4)i = -5 - 2i
      
      

Konjugat, Modulus, dan Argumen

• Konjugat: $\stackrel{<span\; style="font-family:\; arial;">‾</span>}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">a</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">b</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">i</span>}}<span\; style="font-family:\; arial;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">a</span>}<span\; style="font-family:\; arial;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">b</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; arial;">i</span>}$
  
• Modulus: $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Argumen: Sudut θ dalam bentuk polar (r, θ).
  
  

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Temukan konjugat dan modulus dari 3 + 4i.
  • Jawaban:
    • Konjugat: 3 - 4i
    • Modulus: $\sqrt{{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">3</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">+</span>{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">4</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">2</span>}}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">=</span>\sqrt{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">9</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">16</span>}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">=</span>\sqrt{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">25</span>}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">5</span>}$

2. Polinomial

Definisi dan Operasi pada Polinomial

• Polinomial: Fungsi yang didefinisikan sebagai penjumlahan dari suku-suku berbentuk $\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">a</span>}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">n</span>}}$.
• Penjumlahan dan Pengurangan: Dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis.
• Perkalian: Dilakukan dengan menggunakan distributif.
• Pembagian: Dilakukan dengan metode pembagian panjang atau pembagian sintetis.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan polinomial $\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">f</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">)</span><span\; style="font-family:\; Nunito;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">3</span>}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">2</span>}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">3</span>}\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">4</span>}$ dan $\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">g</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">)</span><span\; style="font-family:\; Nunito;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">2</span>}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">2</span>}}<span\; style="font-family:\; Nunito;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">1</span>}$, temukan $\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">f</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">)</span><span\; style="font-family:\; Nunito;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">g</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">)\; dan </span>$$\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">f</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">)</span><span\; style="font-family:\; Nunito;">\cdot </span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">g</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Nunito;">x</span>}<span\; style="font-family:\; Nunito;">)</span>$
  • Jawaban:
    • $f(x) + g(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) + (2x^2 - x + 1) = x^3 + x^2 + 2x - 3$
      
  • $$f(x)⋅g(x)=(x3−2x2+3x−4)⋅(2x2−x+1) diperlukan operasi perkalian lebih lanjut
    

3. Matriks

Konsep dan Jenis-jenis Matriks

• Definisi Matriks: Susunan angka dalam baris dan kolom.
• Jenis-jenis Matriks:
  • Matriks Nol
  • Matriks Identitas
  • Matriks Diagonal
    
    

Operasi pada Matriks

• Penjumlahan dan Pengurangan: Dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.
• Perkalian Matriks: Dilakukan dengan mengalikan elemen baris dengan elemen kolom yang bersesuaian dan menjumlahkan hasilnya.
• Determinan dan Invers Matriks: Determinan adalah nilai skalar yang dihasilkan dari operasi tertentu pada elemen-elemen matriks. Invers matriks adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks asalnya menghasilkan matriks identitas.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan matriks A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan B = $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, temukan A + B dan A ⋅ B.
  • Jawaban:
    • A + B = $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$
      
    • A ⋅ B = $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ 3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$
      
      

4. Transformasi Geometri

Transformasi pada Bidang Kartesius

• Definisi Transformasi: Operasi yang memindahkan setiap titik pada bidang ke posisi baru.
• Kaitan Matriks dengan Transformasi: Transformasi dapat direpresentasikan dengan matriks, dan komposisi transformasi dapat dihitung dengan perkalian matriks.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Diberikan titik (2, 3) dan transformasi matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Tentukan posisi baru titik tersebut.
  • Jawaban:
    • Posisi baru = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 0\cdot3 \\ 0\cdot2 + (-1)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
      
    • Jadi, posisi baru titik tersebut adalah (2, -3).
      
      

5. Fungsi dan Pemodelannya

Fungsi Trigonometri, Fungsi Logaritma, dan Fungsi Aljabar

• Fungsi Trigonometri: Fungsi yang melibatkan sinus, cosinus, dan tangen.
• Fungsi Logaritma: Fungsi yang melibatkan logaritma.
• Fungsi Aljabar: Fungsi yang melibatkan operasi dasar aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Contoh Soal dan Pembahasan:

• Contoh: Temukan nilai dari sin(30°), log(100), dan f(x) = 2x² + 3x - 5 untuk x = 2.
  • Jawaban:
    • sin(30°) = 0.5
    • log(100) = 2
    • f(2) = 2(2)² + 3(2) - 5 = 2(4) + 6 - 5 = 8 + 6 - 5 = 9
      

      Ingin Anak Jago Matematika dan Berprestasi? Hubungi Kami Sekarang juga!!
      
      WhatsApp: 0852-8145-5797
      
      Website: https://edupavilion.com/
      
      Hanya di Edu Pavilion!
      
      Mudah, Terjangkau, Berprestasi.